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如圖,邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點,點A在x軸正半軸上,點B在第一象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,當點P到達點A時停止運動,設點P運動的時間是t秒.將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C,點C隨點P的運動而運動,連接CP、CA,過點P作PD⊥OB于點D.
(1)填空:PD的長為______
【答案】分析:(1)由三角形AOB是等邊三角形可以得出OB=OA=AB=4,∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°,由PD⊥OB就可以得出∠PDO=90°,再通過解直角三角形就可以用t把PD表示出來.
(2)如圖(1)過C作CE⊥OA于E,可得△PCE∽△BPD,利用三角形相似的性質就可以CE和PE的值,從而可以表示出C的坐標.
(3)在P的移動過程中使△PCA為直角三角形分兩種情況,當∠PCA=90°或∠PAC=90°時就可以求出相對應的t值
(4)射出C點的坐標,表示出坐標的函數關系式確定C的運動軌跡的圖象為線段,再根據條件就可以求出起點的坐標和終點的坐標,運用兩點間的距離公式就可以求出其值.
解答:解:(1)∵△AOB是等邊三角形,
∴OB=OA=AB=4,∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°.
∵PD⊥OB,
∴∠PDO=90°,
∴∠OPD=30°,
∴OD=OP.
∵OP=t,
∴OD=t,在Rt△OPD中,由勾股定理,得
PD=
故答案為:

(2)如圖(1)過C作CE⊥OA于E,
∴∠PEC=90°,
∵OD=t,
∴BD=4-t.
∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C,
∴∠BPC=60°.
∵∠OPD=30°,
∴∠BPD+∠CPE=90°.
∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD


∴CE=,PE=,OE=
∴C().

(3)如圖(3)當∠PCA=90度時,作CF⊥PA,
∴△PCF∽△ACF,

∴CF2=PF•AF,
∵PF=2-t,AF=4-OF=2-t CF=
∴(2=(2-t)(2-t),
求得t=2,這時P是OA的中點.
如圖(2)當∠CAP=90°時,C的橫坐標就是4,
∴2+t=4
∴t=

(4)設C(x,y),
∴x=2+t,y=
∴y=x-
∴C點的運動痕跡是一條線段(0≤t≤4).
當t=0時,C1(2,0),
當t=4時,C2(5,),
∴由兩點間的距離公式得:C1C2=2
故答案為:2

點評:本題考查了相似三角形的判定與性質,勾股定理的運用,等邊三角形的性質,直角三角形的性質,旋轉的性質,兩點間的距離公式的運用.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,邊長為2的等邊三角形OAB的頂點A在x軸的正半軸上,B點位于第一象限,將△OAB繞點O順時針旋轉30°后,恰好點A落在雙曲線y=
kx
(x>0)上,如果等邊三角形OAB的A點再次落在雙曲線上,那么應繼續至少按順時針旋轉
 
度后.

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(1)求證:△CED≌△CFG;
(2)設ED=a,EB=b,問:在線段EF上是否存在點M,EM的長m能使
x=a
y=b
是方程組
2(
5
+1)x-3
3
y=m2+p-8
(
5
+1)x-
2
3
3
y=m-2p
的解?若存在,求二次函數y=px2-2px+
p+pm
m
的最大值或最小值;若不存在,說明理由.

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(1)試探討四邊形ABCD的形狀,并說明理由.
(2)當點P在線段AB上運動,(不與點A、點B重合),若BP=x,四邊形APED的面積是否為定值呢?請說明理由.
(3)在第(2)問的條件下,若BP=x,△PDE的面積為y,求出y與x之間的函數關系式,并求出△PDE的面積的最小值,及取得最小值時x的取值.

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1.5
1.5

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