Question

如圖，邊長為2的等邊△ABC，射線AB上有一點動P（P不與點A、點B重合），以PC為邊作等邊△PDC，點D與點A在BC同側，E為AC中點，連接AD、PE、ED．

（1）試探討四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
（2）當點P在線段AB上運動，（不與點A、點B重合），若BP=x，四邊形APED的面積是否為定值呢？請說明理由．
（3）在第（2）問的條件下，若BP=x，△PDE的面積為y，求出y與x之間的函數關系式，并求出△PDE的面積的最小值，及取得最小值時x的取值．

Answer 1

分析：（1）點P的位置有兩種情況：①若點P在線段AB上，先利用SAS證明△ADC≌△BPC，得出∠DAC=∠B=∠BCA=60°，則AD∥BC．再由∠B+∠DCB＜180°，得出DC與AB不平行，進而得出四邊形ABCD是梯形；②若點P在線段AB的延長線上，先證明P、D、A、C四點共圓，則∠DAP=∠DCP=60°=∠ABC，則AD∥BC．再由P點的位置不確定，得出BP與AB不一定相等，即AD與BC不一定相等，則當BP≠AB時，四邊形ADBC是梯形；當BP=AB時，四邊形ADBC是菱形；
（2）先由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，再根據三角形的面積公式得到S_△ADE=

1

2

AD•AE•sin∠DAE=

3

4

x，S_△APE=

1

2

AP•AE•sin∠PAE=

3

2

-

3

4

x，然后求出S_{四邊形APED}=S_△ADE+S_△APE=

3

2

，即可得到四邊形APED的面積是為定值；
（3）過P作DA延長線的垂線PM，垂足為M．由三角形的面積公式求出S_△ADP=

1

2

AD•PM=

3

2

x-

3

4

x²，根據S_△PDE=S_{四邊形APED}-S_△ADP得出y=

3

4

x²-

3

2

x+

3

2

，運用配方法寫成頂點式，根據二次函數的性質即可求解．

解答：解：（1）點P的位置有兩種情況：
①若點P在線段AB上，如圖1，四邊形ABCD是梯形．理由如下：
∵△ABC與△CPD都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠DCA=∠PCB，
又AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∠DCA=∠PCB＜60°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠DCA+60°＜120°，
∴∠B+∠DCB＜180°，
∴DC與AB不平行，
∴四邊形ABCD是梯形；
②若點P在線段AB的延長線上，如圖2，四邊形ADBC是梯形或菱形．理由如下：
∵∠PAC=∠PDC=60°，
∴P、D、A、C四點共圓，
∴∠DAP=∠DCP=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DAP=∠ABC，
∴AD∥BC．
易證△ADC≌△BPC（SAS），
∴AD=BP，
∵點P在線段AB的延長線上，
∴P點的位置不確定，BP與AB不一定相等，
∵AB=BC，
∴AD與BC不一定相等，
當BP≠AB時，四邊形ADBC是梯形；
當BP=AB時，四邊形ADBC是菱形；

（2）四邊形APED的面積是為定值．理由如下：
由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，
∵AB=2，∴AP=2-x．
∵S_△ADE=

1

2

AD•AE•sin∠DAE=

1

2

x×1×

3

2

=

3

4

x，
S_△APE=

1

2

AP•AE•sin∠PAE=

1

2

（2-x）×1×

3

2

=

3

2

-

3

4

x，
∴S_{四邊形APED}=S_△ADE+S_△APE=

3

4

x+（

3

2

-

3

4

x）=

3

2

，
∴四邊形APED的面積是為定值；

（3）由（1）知∠BAD=120°，過P作DA延長線的垂線PM，垂足為M，∠PAM=60°，∠APM=30°，
∴PM=

3

2

（2-x），
∴S_△ADP=

1

2

AD•PM=

1

2

x×

3

2

（2-x）=

3

2

x-

3

4

x²，
由題意，知S_△PDE=S_{四邊形APED}-S_△ADP
∴y=

3

2

-（

3

2

x-

3

4

x²）=

3

4

x²-

3

2

x+

3

2

=

3

4

（x-1）²+

3

4

，
∴當x=1時，y有最小值

3

4

，
即當x取1時，△PDE的面積有最小值，最小值為

3

4

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，四點共圓的條件，梯形的判定，圖形的面積，二次函數的性質等知識，綜合性較強，難度較大．準確地作出輔助線是解題的關鍵．