Question

已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）設四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由；
（3）設PQ的長為x（cm），試確定y與x之間的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的表達式和∠B的度數進行求解即可．
（2）本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數關系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個關于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值就是題目所求的值．
（3）可過P作PM⊥BC于M，先在直角三角形PQM中，用t表示出x，然后將x替換掉（2）中得出的y，t的函數關系式中t的值，即可得出y，x的函數關系式．
解答：解：（1）根據題意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
當∠BQP=90°時，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
當∠BPQ=90°時，BP=BQ，
3-t=t，t=2（秒），
答：當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形．

（2）過P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB•sin∠B=（3-t），
∴S_△PBQ=BQ•PM=•t•（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=×3²×-•t•（3-t），
=t²-t+，
∴y與t的關系式為y=t²-t+，
假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，
則S_{四邊形APQC}=S_△ABC，
∴t²-t+=××3²×，
∴t²-3t+3=0，
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程無解，
∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．

（3）在Rt△PQM中，∵MQ=|BM-BQ|=|（1-t）|，
MQ²+PM²=PQ²，
∴x²=[（1-t）]²+[（3-t）]²，
=（t²-2t+1）+（9-6t+t²），
=（4t²-12t+12）=3t²-9t+9，
∴t²-3t=（x²-9），
∵y=t²-t+，
∴y=t²-t+=×（x²-9）+=x²+，
∴y與x的關系式為y=x²+．
點評：本題主要考查了直角三角形的判定、圖形面積的求法、勾股定理以及二次函數的應用等知識點．考查學生數形結合的數學思想方法．