Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A為切點，連接PC交⊙O于點B，連接AB，且PC=10，PA=6．
求：（1）⊙O的半徑；
（2）cos∠BAC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，根據切線的性質，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，繼而求得⊙O的半徑；
（2）由AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，根據圓周角定理與切線的性質，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．
解答：解：（1）∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，
∴CA⊥PA，
即∠PAC=90°，
∵PC=10，PA=6，
∴AC==8，
∴OA=AC=4，
∴⊙O的半徑為4；

（2）∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，
∴∠ABC=∠PAC=90°，
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，
∴∠BAC=∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P===，
∴cos∠BAC=．
點評：此題考查了切線的性質、圓周角定理、勾股定理以及三角函數的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．