Question

如圖，已知等腰梯形ABNC的邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸的正方向上，C（0，6），
N （4，6），且AC=．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A、C、B三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點(diǎn)，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使P點(diǎn)到直線BC與x軸的距離相等？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOC中，∵AC=，OC=6，∴AO=2，∴A（-2，0）；

（2）由等腰梯形的對稱性可知OB=CN+OA=4+2=6，即B（6，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），將C（0，6）代入，得a=-，
∴y=-（x+2）（x-6），即y=-x²+2x+6=-（x-2）²+8，頂點(diǎn)M（2，8）；

（3）存在．
如圖，設(shè)直線BC與拋物線對稱軸交于F點(diǎn)，直線BC解析式為y=-x+6，與x軸夾角為45°，F(xiàn)（2，4），
設(shè)P（2，m）則PF=|4-m|，
由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，P點(diǎn)到直線BC=，
依題意，得|m|=，解得m=4-4或-4-4．

分析：（1）在△AOC中，運(yùn)用勾股定理求OA即可；
（2）根據(jù)梯形，拋物線的對稱性求B點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求拋物線解析式，將解析式配方求頂點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線BC與拋物線對稱軸交于F點(diǎn)，直線BC與x軸夾角為45°，則P點(diǎn)到直線BC=，根據(jù)題意列方程求P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求A點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線解析式，判斷△OBC為等腰直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)求解．