Question

如圖，在直角坐標系中，一次函數y=

3

3

x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B
①若以原點為圓心的圓與直線相切于點C，求C點的坐標；
②在⊙O中剪掉扇形COD后，求剩下的部分做成的圓錐的底面半徑（結果用根號表示）．
③在x軸上是否存在這樣的點P，使△PAB為等腰三角形？若存在請寫出點P坐標；若不存在請說明原因．

Answer 1

分析：由已知以原點為圓心的圓與直線相切于點C可求出直線OC，從而求出C點的坐標，再由C點的坐標可以求出OC（半徑）及∠COD，既而求出在⊙O中剪掉扇形COD后，求剩下的部分做成的圓錐的底面半徑．由一次函數y=

3

3

x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，可求出點A和B，由直角坐標系可知，構成的等腰三角形有四種情況：以A為頂點兩個，以B為頂點一個，以P為頂點一個，根據兩點的距離公式可求出每種情況的點P的坐標．

解答：解：①已知以原點為圓心的圓與直線相切于點C，
∴直線OC的截距k=-1÷

3

3

=-

3

，
∴直線OC的方程為：y=-

3

x，
解

3

3

x+2=-

3

x，
得x=-

3

2

，代入y=-

3

x得：y=

3

2

，
所以C點的坐標為（-

3

2

，

3

2

）．

②已知C點的坐標為（-

3

2

，

3

2

），
∴OC²=(

3

2

)2+(

3

2

)2=3，
OC=

3

，
∴tan∠COD=

3

2

÷

3

2

=

3

，
∴∠COD=60°，
∴在⊙O中剪掉扇形COD后，剩下的部分做成的圓錐的底面半徑為：
2π•

3

•

360-60

360

÷（2π）=

5 3

6

．

③存在，分別是p1(2

3

，0)，p 2(4-2

3

，0)，p3(-4-2

3

，0)，p4(-

2 3

3

，0)．

點評：此題是一次函數和圓、切線、等腰三角形綜合題，解題的關鍵是①由已知切線確定直線OC的方程求C點的坐標．②再由C點的坐標求出半徑和剪去的角，從而求出圓錐的半徑．③由已知先求出點A和B，再由直角坐標系確定構成等腰三角形的情況．