Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中點A坐標為(2，﹣4)，以A為頂點的拋物線經過坐標原點交x軸于點B．

(1)求拋物線的解析式；

(2)取線段AB上一點D，以BD為直徑作⊙C交x軸于點E，作EF⊥AO于點F，

求證：EF是⊙C的切線；

(3)設⊙C的半徑為r，EF＝m，求m與r的函數關系式及自變量r的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣4x；(2)證明見解析；(3) .

【解析】

（1）結合已知條件可以知道拋物線經過A（2，-4），O（0，0），代入解析式，即可求出拋物線的解析式；
（2）連接CE，只要求證CE∥AO，結合已知推出EF⊥CE，即可求證出結論；
（3）作AH⊥OB于H點，結合勾股定理和拋物線的性質求出個線段的長度，根據平行線的性質，寫出比例式，求出半徑CB的長度

(1)設y＝a(x﹣2)2﹣4，把O(0，0)代入，得4a﹣4＝0，

∴a＝1，

∴y＝(x﹣2)2﹣4＝y＝x2﹣4x；

(2)連接CE，

∴CE＝CB

∴∠CEB＝∠CBE

∵拋物線有對稱性

∴AO＝AB

∴∠AOB＝∠OBA

∴∠AOB＝∠CEB

∴CE∥AO

∵EF⊥AO

∴EF⊥CE

∴EF是⊙C的切線

(3)作AH⊥OB于H，∴OH＝HB＝2，AH＝4，AO＝AB＝

∴sin∠AOB＝sin∠ABO＝

在RT△EFO中，EF＝OEsin∠BOA＝

由(2)CE∥OA，∴△BEC∽△BOA，

∴，即

∴BE＝

∴OE＝OB﹣EB＝

∴

即：，

∴0＜r＜．