Question

如圖，線段BE上有一點(diǎn)C，以BC、CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC、DCE，連結(jié)AE、BD，分別交CD、CA于Q、P．
（1）找出圖中的一組相等的線段（等邊三角形的邊長(zhǎng)相等除外），并說(shuō)明你的理由．
（2）取AE的中點(diǎn)M、BD的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，問(wèn)△CMN是否是等邊三角形？若是請(qǐng)你說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)給出你的正確結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DCN≌△ECM，進(jìn)而得出∠NCM=60°，利用等邊三角形的判定得出即可．

解答：解：（1）BD=AE．
理由：等邊三角形ABC、DCE中，
∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中

BC=CA ∠BCD=∠ACE CD=CE

∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE．

（2）等邊三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中點(diǎn)、N是BD的中點(diǎn)，
∴DN=EM，又DC=CE，
在△DCN和△ECM中，

DN=EM ∠1=∠2 DC=EC

，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，
所以∠NCD+∠DCM=60°，
即∠NCM=60°，
∴△CMN為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知熟練利用等邊三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．