Question

如圖，線段BE上有一點C，以BC、CE為邊分別在BE的同側作等邊三角形ABC、DCE，連結AE、BD，分別交CD、CA于Q、P．
（1）找出圖中的一組相等的線段（等邊三角形的邊長相等除外），并說明你的理由．
（2）取AE的中點M、BD的中點N，連結MN，問△CMN是否是等邊三角形？若是請你說明理由；若不是，請給出你的正確結論，不必證明．

Answer 1

解：（1）BD=AE．
理由：等邊三角形ABC、DCE中，
∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中

∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE．

（2）等邊三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中點、N是BD的中點，
∴DN=EM，又DC=CE，
在△DCN和△ECM中，
，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，
所以∠NCD+∠DCM=60°，
即∠NCM=60°，
∴△CMN為等邊三角形．
分析：（1）利用等邊三角形的性質以及全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質得出△DCN≌△ECM，進而得出∠NCM=60°，利用等邊三角形的判定得出即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質和等邊三角形的判定與性質，根據已知熟練利用等邊三角形的性質得出對應邊對應角相等是解題關鍵．