Question

如圖直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D為x正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以線段BD為邊在第一象限內作正方形DEFB，M是正方形DEFB對角線的交點，直線MA交y軸于點Q．
（1）△OBD與△ABM相似嗎？為什么？
（2）隨著點D位置的變化，點Q的位置是否會發生變化？若沒有變化，求出點Q的坐標；若有變化，請說明理由．
（3）隨著點D位置的變化，連接BQ、DQ，請探究△QBD能否為直角三角形？如果能請求出點E的坐標，如果不能請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據正方形的性質，利用“SAS”證明相似；
（2）利用（1）中的相似三角形，證明角相等，從而可證△AOQ為等腰直角三角形，得出Q點坐標；
（3）如果∠QBD=90°，可證△BCQ≌△BAD，為求E點坐標，過E點作x軸的垂線，垂足為G，利用角的互余關系，可證△EDG≌△DBA，再求E點坐標．
解答：解：（1）△ABM∽△OBD．
證明：∵OB：AB=BD：BM=，
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．

（2）Q點的坐標不變，是Q（0，-1）；
證明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAQ=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAQ為等腰直角三角形，可證得OQ=OA=1；

（3）△QBD可以是直角三角形．
過E點作x軸的垂線，垂足為G，當∠DBQ=90°時，
∵∠CBQ+∠QBA=90°，∠QBA+∠ABD=90°，
∴∠CBQ=∠ABD，
又∵BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCQ≌△BAD，
∴AD=CQ=2，
易證△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，
∴△QBD能成為直角三角形，點E的坐標為（，）或E（4，2）．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形，相似三角形的判定及運用，點的坐標的求法，在變中尋找不變的量．