Question

（2007•廣州）二次函數圖象過A、C、B三點，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y軸正半軸上，且AB=OC．
（1）求C的坐標；
（2）求二次函數的解析式，并求出函數最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A．B兩點的坐標及點C在y軸正半軸上，且AB=OC．求出點C的坐標為（0，5）；
（2）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點的坐標代入解析式，可求出a、b、c的值．
解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即點C的坐標為（0，5）；

（2）解法1：設圖象經過A、C、B三點的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c
由于這個函數圖象過點（0，5），可以得到C=5，又由于該圖象過點（-1，0），（4，0），則：
，
解方程組，得
∴所求的函數解析式為y=-x²+x+5
∵a=-＜0
∴當x=-=時，y有最大值==；

解法2：
設圖象經過A、C、B二點的二次函數的解析式為y=a（x-4）（x+1）
∵點C（0，5）在圖象上，
∴把C坐標代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-，
∴所求的二次函數解析式為y=-（x-4）（x+1）
∵點A，B的坐標分別是點A（-1，0），B（4，0），
∴線段AB的中點坐標為（，0），即拋物線的對稱軸為直線x=
∵a=-＜0
∴當x=時，y有最大值y=-=．
點評：解答此題的關鍵是熟知二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，頂點坐標為x=-，y=．