Question

（2013•衢州）如圖，在菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°．順次連結菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A₁B₁C₁D₁；順次連結四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，可得四邊形A₂B₂C₂D₂；順次連結四邊
形A₂B₂C₂D₂各邊中點，可得四邊形A₃B₃C₃D₃；按此規(guī)律繼續(xù)下去…．則四邊形A₂B₂C₂D₂的周長是

20

；四邊形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周長是

5+5 3

21005

．

Answer 1

分析：根據(jù)菱形的性質以及三角形中位線的性質以及勾股定理求出四邊形各邊長得出規(guī)律求出即可．

解答：解：∵菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°，順次連結菱形ABCD各邊中點，
∴△AA₁D₁是等邊三角形，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，
∴A₁D₁=5，C₁D₁=

1

2

AC=5

3

，A₂B₂=C₂D₂=C₂B₂=A₂D₂=5，
∴四邊形A₂B₂C₂D₂的周長是：5×4=20，
同理可得出：A₃D₃=5×

1

2

，C₃D₃=

1

2

C₁D₁=

1

2

×5

3

，
A₅D₅=5×（

1

2

）²，C₅D₅=

1

2

C₁D₁=（

1

2

）²×5

3

，
…
∴四邊形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周長是：

2(5+5 3 )

21006

=

5+5 3

21005

．
故答案為：20，

5+5 3

21005

．

點評：此題主要考查了菱形的性質以及矩形的性質和中點四邊形的性質等知識，根據(jù)已知得出邊長變化規(guī)律是解題關鍵．