Question

如圖1，在直角坐標系xoy中，拋物線L：y=-x²-2x+2與y軸交于點C，以OC為一邊向左側作正方形OCBA上；如圖2，把正方形OCBA繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）﹒
（1）B、C兩點的坐標分別為

 

、

 

；
（2）當tanα﹦

1

2

時，拋物線L的對稱軸上是否存在一點P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在拋物線L的對稱軸上是否存在一點P，使△PB₁C₁為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出此時tanα的值；若不存在，請說明理由﹒

Answer 1

分析：（1）本題需先根據題意拋物線y=-x²-2x+2與y軸交于點C的性質，得出x、y的值，即可求出B、C兩點的坐標．
（2）首先根據題意判斷出存在，再設旋轉后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于一點，拋物線的對稱軸交OA₁與點，交x軸于點，得出∠AOA₁=∠C₁OD，在分三種情況分別得出P₁，P₂（-1，

5

），P₃的坐標，即可求出答案．
（3）首先判斷出存在﹒根據圖形得出P₁點、P₂點符合條件﹒由圖1和圖2分別得出tanα的值．

解答：解：（1）∵拋物線L：y=-x²-2x+2與y軸交于點C
∴y=2，
∴x=0或x=-2，
∴B（-2，2），
C（0，2）．

（2）存在﹒設旋轉后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點D﹒
拋物線的對稱軸x=-1交OA₁于點E，交x軸于點F﹒
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα=

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C1D=

1

2

OC1=1，
即點D是B₁C₁的中點﹒
①當點B₁為直角頂點，顯然A₁B₁與直線x=1的交點P₁即為所求﹒
由Rt△EFO∽Rt△EA₁P₁，可得P₁點坐標為（-1，2

5

-2）；
②當點C₁為直角頂點，顯然射線C₁O與直線x=1的交點P₃即為所求﹒
由Rt△OFP₃易得P₃點的坐標為（-1，-2）；
③當B₁C₁為斜邊時，以B₁C₁為直徑的圓與直線x=1的交點即為所求，
∵B₁C₁的中點D到直線x=1的距離恰好等于1，
∴以B₁C₁為直徑的圓與直線x=1的交點只有一個P₂﹒
又易得OD=

5

，∴P₂點的坐標為（-1，

5

）﹒
故滿足題設條件的P點有三個：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；

（3）存在﹒顯然在如圖兩種情況中的P₁點、P₂點符合條件﹒
由圖1易得tanα=

3

；
由圖2中Rt△P₂A₁E∽Rt△OFE可得
tanα=

8- 19

15

．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的相似比等性質，求有關問題時要注意分析題意分情況討論結果．