Question

【題目】平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，4)，點B的坐標為(2，7) ，直線l經過A點且平行于x

軸，直線l上的動點C從A點出發以每秒4個單位的速度沿直線l運動．若在x軸上有兩點D、E,

連接DB、OB，連接EC、OC，滿足DB＝OB，EC＝OC，設點C運動時間t秒，

(1) 如圖1，若動點C從A點出發向左運動，當t＝1秒時，

①求線段BC的長和點E的坐標；

②求此時DE與AC的數量關系？

(2)探究：動點C在直線l運動，無論t取何值，是否都存在上述（1）②中的數量關系？ 若存在，請證明；若不存在，請說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1) ①BC=5， E（-4,0）②DE=2AC (2)存在，證明見解析

【解析】試題分析：（1）①根據題意可知AC=4，AB=3，由勾股定理即可得BC的長，再根據EC=OC以及點C的坐標即可得點E的坐標；

②由點B的坐標以及DB=OB即可得點D的坐標，從而得到DE的長，從而可得；

（2）由題意可知AC=4t，C（2-4t，4），從而可得E（4-8t，0），由D（4，0）可得DE=8t，從而可得.

試題解析：（1）①當t=1時，AC=4t=4，4-2=2，所以C（-2，4），

由A（2，4）、B（2，7）可得AB=3，

由勾股定理則有BC=5，

因為EC=OC，C（-2，4），O（0，0），所以E（-4，0）；

②由OB=BD，O（0，0），B（2，7），所以D（4，0），

由E（-4，0），所以DE=8，

因為AC=4，所以DE=2AC；

（2）存在，理由如下：

∵AC=4t，A(2，4)，∴C（2-4t，4），

∵EC=OC， O（0，0），∴E（4-8t，0）；

∵OB=BD，O（0，0），B（2，7），∴D（4，0），

∴DE=8t，

∴DE=2AC.