Question

已知三位數

.

abc

，其平方數的末三位數也是

.

abc

，求滿足條件的所有的三位數．

Answer 1

分析：根據題意可得這個三位數為100a+10b+c，可得（100a+10b+c）²=10000a²+2000ab+100（b²+2ac）+20bc+c² ，故c是1或5或6．分類討論即可求解．

解答：解：顯然，這個三位數為100a+10b+c 所以
（100a+10b+c）²
=10000a²+100b²+c²+2000ab+20bc+200ac
=10000a²+2000ab+100（b²+2ac）+20bc+c² ，
所以由條件可知c²的個位是c，
故c是1或5或6．下面分類討論：
①當c=1時，可發現b=0（因為要使2bc的個位=b，即2b=b，則除b=0外沒有其它數）
則a=0（因為要使（b²+2ac）=2a的個位=a，則也除a=0外沒有其它數）
而a=0不合題意，舍去．
②當c=5時，
則2bc的個位+2=10b的個位+2=0+2=b（加的2是由c²=25的十位2加進來的），
故b=2，而（b²+2ac）的個位+2=（4+10a）的個位+2=4+2=6=a（加的2是由20bc=200的百位2加進來的）
所以a=6，即此三位數為625．
③當c=6時，
則2bc的個位+3=12b的個位+3=b，即只有b=7成立．
而（b²+2ac）的個位+8=（49+12a）的個位+8=a（加的8是由20bc=840的百位8加進來的），即也只有a=3成立．
即此三位數為376．
所以綜上所述，三位數為625或376

點評：考查了因式分解的應用，本題關鍵是得到c的值，及分類思想的運用．