Question

已知：如圖，在等邊△ABC中取點(diǎn)P，使得PA，PB，PC的長分別為3，4，5，將線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接BD，下列結(jié)論：
①△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)P與點(diǎn)D的距離為3；③∠APB=150°；
④S_△APC+S_△APB=，其中正確的結(jié)論有（ ）

A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：由線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有AD=AP，∠DAP=60°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60°，AB=AC，易得∠DAP=∠PAC，于是△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；△ADP為等邊三角形，則有PD=PA=3；在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，則∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；由△ADB≌△APC得S_△ADB=S_△APC，則有S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD，根據(jù)等邊三角形的面積為邊長平方的倍和直角三角形的面積公式即可得到S_△ADP+S_△BPD=×3²+×3×4=6+，可判斷④不正確．
解答：解：連PD，如圖，
∵線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以①正確；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴PD=PA=3，所以②正確；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，
∴△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正確；
∵△ADB≌△APC，
∴S_△ADB=S_△APC，
∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=×3²+×3×4=6+，所以④不正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理．