Question

將一副直角三角板按如圖1所示方式擺放，其中∠ACB=∠BAD=90°，∠ADB=60°，∠BAC=45°，AC與BD相交于點(diǎn)O．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）把△ABC固定不動(dòng)，將△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α（0°＜α＜90°）的角，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B記為點(diǎn)B′．
①當(dāng)α為多少度時(shí)，∠AOB′為直角？（如圖2）
②連接B B′，四邊形ACB B′可能為軸對稱圖形嗎？如果可能，請?jiān)趫D3中畫出示意圖，并求出此時(shí)角α的度數(shù)；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得∠CBO，然后利用三角形外角的性質(zhì)求得∠AOB的度數(shù)；
（2）若∠AOB′=90°，可以證得：BD∥BC，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得；
（3）根據(jù)C=CB，因而當(dāng)△ADB′的點(diǎn)B′旋轉(zhuǎn)到AB的垂直平分線上，那么四邊形AB′BC就是軸對稱圖形．
解答：解：如圖1，
（1）∵∠CBO=45°-30°=15°，∠C=90°，
∴∠AOB=∠CBO+∠C=15°+90°=105°；

（2）如圖2，
∵∠AOB′=90°，∠C=90°，
∴∠AOB′=∠C，
∴BD∥BC，
∴∠AEO=∠B=45°，
∴∠EAB′=∠AEO-∠B′=45°-30°=15°，
∴α=15°；

（3）當(dāng)△ADB′的點(diǎn)B′旋轉(zhuǎn)到AB的垂直平分線上，那么四邊形AB′BC就是軸對稱圖形．
∴AB′=BB′=AB，
∴∠BAB′=60°，
∴α=60°．
點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，以及軸對稱圖形的性質(zhì)，正確理解軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．