Question

【題目】如圖，在矩形中，，，反比例函數（）的圖像與矩形兩邊AB、BC分別交于點D、點E，且.

（1）求點D的坐標和的值；

（2）求證：；

（3）若點是線段上的一個動點，是否存在點，使？若存在，求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），4；（2）見解析；（3）存在點，或.

【解析】

（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的長，然后求得點D的坐標，即可求得k的值，繼而求得點E的坐標；

（2）由E點在反比例函數圖像上，可求E點坐標，進而求出EC的長即可求證.
（3）首先假設存在要求的點P坐標為（m，0），OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易證得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得m的值，繼而求得此時點P的坐標．

解：（1）在矩形中，軸，且，

∴點的縱坐標為3.

∵，且，

，

∴.

∴點在反比例函數圖像上，

∴.

（2）證：∵在上，

∴橫坐標為4，

在中，當時，，

∴.

∴，

∴，

∴.

（3）存在點，使，其過程是：

設，則.

，

，

，

.

，

.

，即.解得或.

或.