Question

已知，如圖，正方形ABCD，菱形EFGP，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H．
（1）求證：GH=AE；
（2）若菱形EFGP的周長為20cm，，FD=2，求△PGC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖形性質可證明△AEF≌△HGP，從而即得GH=AE．
（2）△PGC的面積=×GC×PH，而由（1）知PH=AF，再根據題中已知條件及邊長可求得邊AD、AF和DG的長，從而得到GC的長，即可求得面積．
解答：（1）證明：由菱形性質知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG，
又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，
∴∠AFE=∠GPH，
又∵∠A=∠H，
∴△AEF≌△HGP，（AAS）
∴GH=AE；

（2）解：∵菱形EFGP的周長為20cm，
∴EF=GP=EP=FG=5cm，
又∵，
∴在△AEF中，AF=4，EF=5，
又∵FD=2，
∴正方形邊長=AD=DC=6，
在△DFG中，DG==，
∴GC=6-，
又由（1）知PH=AF，
∴△PGC的面積=×GC×PH=×GC×AF=12-2（cm²）．
點評：本題考查了正方形性質以及菱形性質，是基礎題．