Question

（1）試求出奇數的四次方被16除所得的余數（最小非負剩余）；
（2）問：是否存在六個整數a、b、c、d、e、f，使得a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴=2007⁹？請說明理由（允許利用在（1）中所得到的結論）．

Answer 1

（1）設a是奇數，則a=2n+1（n是整數），（1分）a⁴=（2n+1）⁴=（4n²+4n+1）²=[4n（n+1）+1]²（2分）
因為n（n+1）為偶數，所以4n（n+1）是8的倍數，（3分）
令4n（n+1）=8t（t是整數），則a⁴=（8t+1）²=64t²+16t+1=16?（4t²+t）+1，（4分）
即a⁴被16除所得的余數為1；（5分）
（2）不存在．理由如下：
顯然，偶數的四次方被16除的余數為0，由（1）知：奇數的四次方被16除的余數為1，而整數可劃分為奇數與偶數兩大類，所以a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余數只可能為0、1、2、3、4、5、6．（10分）
另一方面，2007被16除的余數為7，所以2007⁹被16除的余數就是7⁹被16除的余數，注意到7⁹=7×7⁸=7×49⁴=7×（16×3+1）⁴被16除的余數為7．（14分）
由以上兩個方面知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴與2007⁹被16除的余數永遠不可能相同，因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．（15分）