Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+1的圖象與反比例函數y=

9

x

的圖象在第一象限相交于點A，過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點 B、C，如果四邊形OBAC是正方形． 
（1）求一次函數的解析式．
（2）一次函數的圖象與y軸交于點D．在x軸上是否存在一點P，使得PA+PD最小？若存在，請求出P點坐標及最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若四邊形OBAC是正方形，那么點A的橫縱坐標相等，代入反比例函數即可求得點A的坐標，進而代入一次函數即可求得未知字母k．
（2）在y軸負半軸作OD′=OD，連接AD′，與x軸的交點即為P點的坐標，進而求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形OBAC是正方形，
∴S_{四邊形OBAC}=AB²=OB²=9，
∴點A的坐標為（3，3），
∵一次函數y=kx+1的圖象經過A點，
∴3=3k+1，
解得k=

2

3

，
∴一次函數的解析式y=

2

3

x+1，

（2）y軸負半軸作OD′=OD，連接AD′，如圖所示，AD′與x軸的交點即為P點的坐標，
∵一次函數的解析式y=

2

3

x+1，
∴D點的坐標為（0，1），
∴D′的坐標為（0，-1），
∵A點坐標為（3，3），
設直線AD′的直線方程為y=mx+b，
即

b=-1 3m+b=3

，
解得m=

4

3

，b=-1，
∴直線AD′的直線方程為y=

4

3

x-1，
令y=0，解得x=

3

4

，
∴P點坐標為（

3

4

，0）．

點評：本題主要考查反比例函數的綜合題，解決本題的關鍵是利用反比例函數求得關鍵點點A的坐標，然后利用待定系數法即可求出函數的解析式，解答（2）問時需要求出D′的坐標．