Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線l₁上的動點（B不與A、C重合），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D。
（1）求l₂的解析式；
（2）求證：點D一定在l₂上；
（3）□ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積（若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；如果不能為矩形，請說明理由。注：計算結果不取近似值。

Answer 1

解：（1）設l2的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵l1與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0）， 頂點坐標是（0，-4），l2與l1關于x軸對稱， ∴l2過A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4）， ∴，∴a=-1，b=0，c=4， 即l2的解析式為y=-x2+4； （2）設點B（m，n）為l1：y=x2-4上任意一點，則n=m2-4（*） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關于原點O對稱， ∴B、D關于原點O對稱， ∴點D的坐標為D（-m，-n） 由（*）式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4， 即點D的坐標滿足y=-x2+4， ∴點D在l2上； （3）□ABCD能為矩形； 過點B作BH⊥x軸于H，由點B在l1：y=x2-4上， 可設點B的坐標為（x0，x02-4）， 則OH=|x0|，BH=|x02-4|， 易知，當且僅當BO=AO=2時，□ABCD為矩形， 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，（x02-4）（x02-3）=0， ∴x0=±2（舍去）、x0=±， 所以，當點B坐標為B（，-1）或B′（-，-1）時，□ABCD為矩形， 此時，點D的坐標分別是D（-，1）、D′（，1）， 因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′， 設直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB， ∴， ∴， ∴EO=4-2， 由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形， 其面積為S=2SΔACE=。