Question

如圖，⊙O與⊙A相交于C、D兩點，A、O分別是兩圓的圓心，△ABC內接于⊙O，弦CD交AB于點G，交⊙O的直徑AE于點F，連接BD．
求證：
（1）△ACG∽△DBG；
（2）AC²=AG•AB．

Answer 1

分析：（1）根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，得到∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，然后根據相似三角形的判定方法即可得到結論；
（2）根據兩圓相交的性質得到連心線OA垂直平分公共弦CD，再根據垂徑定理得弧AC=弧AD，然后根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等得到∠ACD=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，根據相似三角形的判定方法得到△ACG∽△ABC，則AC：AB=AG：AC，利用比例的性質即可得到結論．

解答：解：（1）∵∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，
∴△ACG∽△DBG；
（2）∵⊙O與⊙A相交于C、D兩點，A、O分別是兩圓的圓心，
∴OA垂直平分CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ACD=∠ABC，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC²=AG•AB．

點評：本題考查了圓的綜合題：相交兩圓的連心線O垂直平分公共弦；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；運用相似三角形的判定與性質證明等積式是常用的方法．