Question

（2007•肇慶）已知拋物線y=kx²-2kx+9-k（k為常數，k≠0），且當x＞0時，y＞1．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）求k的取值范圍；
（3）過動點P（0，n）作直線l⊥y軸，點O為坐標原點．
①當直線l與拋物線只有一個公共點時，求n關于k的函數關系式；
②當直線l與拋物線相交于A、B兩點時，是否存在實數n，使得不論k在其取值范圍內取任意值時，△AOB的面積為定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由頂點坐標公式（，）可得答案；
（2）依題意可得，解之可得k的取值范圍；
（3）①當直線l與拋物線只有一個公共點時，有直線過頂點，可得n關于k的函數關系式，進而可作出判斷；
②當直線l與拋物線相交于A、B兩點時，正方程式可得其對于任意的k值，方程式恒成立，故拋物線的圖象過定點，因此△AOB的面積為定值．
解答：解：（1）∵，，（2分）
∴拋物線的頂點坐標為（1，-2k+9）．（3分）

（2）依題意可得，（5分）
解得0＜k＜4．即k的取值范圍是0＜k＜4．（6分）

（3）①當直線l與拋物線只有一個公共點時，即直線l過拋物線的頂點，
由（1）得n關于k的函數關系式為n=-2k+9（0＜k＜4）．（7分）
②結論：存在實數n，使得△AOB的面積為定值．（8分）
理由：n=kx²-2kx+9-k，整理，得（x²-2x-1）k+（9-n）=0．
∵對于任意的k值，上式恒成立，
∴，
解得，（9分）
∴當n=9時，對k在其取值范圍內的任意值，拋物線的圖象都通過點和點，
即△AOB的底，高為9，
因此△AOB的面積為定值．（10分）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．