Question

如圖①②③…，M，N分別是⊙O的內接正三角形A₁A₂A₃，方形A₁A₂A₃A₄，正五邊形A₁A₂A₃A₄A₅，…，正n邊形A₁A₂A₃…A_n的邊A₁A₂，A₂A₃上的點，且A₂M=A₃N，連接OM，ON．
（1）求圖①中∠MON的度教．
（2）圖②中∠MON的度數是

90°

，圖③∠MON的度數是

72°

．
（3）試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）連接OA₂、OA₃，先利用SAS證明△OMA₂≌△ONA₃，得出∠A₂OM=∠A₃ON，則∠MON=∠A₂OA₃，再由正n邊形的中心角為

360°

n

即可求出∠A₂OA₃=120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出規律，即可解答．

解答：解：（1）如圖①，連接OA₂、OA₃，
∵A₁A₂=A₁A₃，
∴∠A₁A₂A₃=∠A₁A₃A₂，
∵OA₃=OA₂，O是外接圓的圓心，
∴A₃O平分∠A₁A₃A₂，
∴∠OA₂A₃=∠OA₃A₂=30°，
∴∠OA₂M=∠OA₃N=30°，
∵A₂M=A₃N，OA₂=OA₃，
∴△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

3

=120°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=120°；

（2）如圖②，連接OA₂、OA₃，
易證△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

4

=90°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=90°；
如圖③，連接OA₃、OA₄，
易證△OMA₃≌△ONA₄，
∴∠A₃OM=∠A₄ON，
∴∠MON=∠A₃OA₄，
∵∠A₃OA₄=

360°

5

=72°；
∴∠MON=∠A₃OA₄=72°；

（3）由圖①可知，n=3時，∠MON=

360°

3

=120°；
在圖②中，n=4時，∠MON=

360°

4

=90°；
在圖③中，n=5時，∠MON=

360°

5

=72°；
…，
則正多邊形的邊數為n時，∠MON=

360°

n

．
故答案為90°，72°．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵，注意正多邊形外接圓的圓心與其中心重合．