Question

在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①．
（1）請探究BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數量關系？若點P在DC的延長線上，如圖②，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？若點P在CD的延長線上呢，如圖③，請分別直接寫出結論；
（2）就（1）中的三個結論選擇一個加以證明．

Answer 1

分析：根據正方形的性質可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性質，BE=AF，AE=DF，得出BE-DF=EF；
同理可得出圖（2）DF-BE=EF；圖（3）中的DF+BE=EF．

解答：解：（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：BE-DF=EF；
在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF-BE=EF；
在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF+BE=EF．

（2）對圖①中結論證明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

點評：主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質解題．