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觀察下列等式：①
1
2
+1
=
2
-1；②
1
3
+
2
=
3
-
2
；③
1
4
+
3
=
4
-
3
；…，
（1）請用字母表示你所發現的律：即
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
n+1
-
n
．（n為正整數）
（2）化簡計算：（
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2011
+
2012
）．
分析：（1）根據題意可以觀察出：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
；
（2）由（1）中的結論可得
1
1+
2
=
2
-1，
1
2
+
3
=
3
-
2
，…
1
2011
+
2012
=
2012
-
2011
，然后其中的有些數可以互相抵消，最后可得
2012
-1，再化簡即可．
解答：解：（1）由題意得：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
；

（2）原式=
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2012
-
2011

=
2012
-1
=2
503
-1．
點評：此題主要考查了分母有理化以及找數字的規律，關鍵是正確找到式子的計算規律．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

22、觀察下列等式：12-02①，22-12②，32-22③，42-32④，…
（1）按此規律猜想出第⑦個算式；
（2）請用含自然數n的等式表示這種規律．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2
，
同理可得：
1
4
+
3
=
4
-
3
，…
從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…
1
2002
+
2001
）（
2002
+1）的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•珠海）觀察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：
①52×
275
275
=
572
572
×25；
②
63
63
×396=693×
36
36
．
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含a、b），并證明．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•市南區模擬）觀察下列等式：
①12=1；
②2+3+4=32；
③3+4+5+6+7=52；
④4+5+6+7+8+9+10=72
請你根據觀察得到的規律判斷式子1006+1007+1008+…+3016=
20112
20112
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4

…
（1）猜想：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接寫出下列各式的結果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=
2009
2010
2009
2010
．
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．

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