Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），

把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=3；

（2）解：P點(diǎn)坐標(biāo)為（3， ）．

理由如下：

∵點(diǎn)A（0，4），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3，

∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，4）

如圖1，連接BA′交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小．

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，

把A′（6，4），B（1，0）代入得 ，

解得 ，

∴y= x﹣ ，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，

∴y= ×3﹣ = ，

∴P（3， ）．

（3）解：在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．

設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，

由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣ x+4，

把x=t代入得：y=﹣ t+4，則G（t，﹣ t+4），

此時(shí)：NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×（﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，△CAN面積的最大值為 ，

由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，

∴N（ ，﹣3）．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），然后將代入A（0，4）代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接BA′交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，然后再求出直線BA′的解析式，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，再求得直線AC的解析式，從而可求得NG的長(zhǎng)t的函數(shù)關(guān)系式，最后再求出二次函數(shù)最大值即可.