Question

在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫、縱軸的單位長(zhǎng)度相同，A、B的坐標(biāo)分別為（8，6），（16，0），點(diǎn)P沿OA邊從點(diǎn)O開(kāi)始向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿BO邊從B點(diǎn)開(kāi)始向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度每秒2個(gè)單位，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)時(shí)間，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
求：（1）幾秒時(shí)PQ∥AB；
（2）設(shè)△OPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求得AO=10，然后根據(jù)平行線PQ∥AB分線段成比例知

OP

OA

=

OQ

OB

，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，并解方程；
（2）過(guò)P作PC⊥OB，垂足為C，過(guò)A作AD⊥OB，垂足為D．構(gòu)造平行線PC∥AQ，根據(jù)平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關(guān)于y與t的函數(shù)關(guān)系式；

解答：解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
當(dāng)PQ∥AB時(shí)，

OP

OA

=

OQ

OB

，
則：

t

10

=

16-2t

16

，得：t=

40

9

所以

40

9

秒時(shí)PQ∥AB；

（2）過(guò)P作PC⊥OB，垂足為C，過(guò)A作AD⊥OB，垂足為D．則

PC

AD

=

OP

OA

，

PC

6

=

t

10

，
∴PC=

3

5

t，y=

1

2

OQ，PC=

1

2

（16-2t），

3

5

t=-

3

5

t2+

24

5

t；
∴y=-

3

5

t2+

24

5

t；

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例及勾股定理的應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構(gòu)造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來(lái)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．