Question

如圖，在直角坐標系中點O′的坐標為（2，0），⊙O′與x軸交于原點O和點A，又B、C、E三點的坐標分別為（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3．
（1）求點A的坐標和經過B、C兩點的直線的解析式；
（2）當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關系？并寫出每種位置關系時b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點O′的坐標，直接求得點A的坐標，運用待定系數法求得經過B、C兩點的直線的解析式；
（2）首先求得直線BE與⊙O′相切時，與y軸的交點坐標，進而分情況考慮．

解答：解：（1）∵點O′的坐標為（2，0），
∴A（4，0）．
設經過B、C兩點的直線的解析式是y=kx+3，
把（-1，0）代入，得
-k+3=0，
k=3．
則直線BC的解析式是y=3x+3．

（2）設直線BE與⊙O′相切于點D，連接O′D，則O′D⊥BE．
根據勾股定理，得BD=

9-4

=

5

．
根據兩角對應相等，得△BOE∽△BDO′，
則

OE

O′D

=

OB

BD

，
即b=

2

5

=

2

5

5

．
所以當0＜b＜

2

5

5

時，直線和圓相交；
當b=

2

5

5

時，直線和圓相切；
當

2

5

5

＜b＜3時，直線和圓相離．

點評：此題綜合考查了運用待定系數法求函數解析式的方法、相似三角形的判定和性質以及直線和圓的位置關系與數量之間的聯系．