Question

（2010•寧夏）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；
（2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可證得四邊形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四邊形AEMF是正方形；
（2）欲求正方形的面積，需求出正方形的邊長，可設(shè)正方形的邊長為x；由折疊的性質(zhì)知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的長，進(jìn)而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的邊長，即可得到正方形的面積．
解答：解：（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折疊所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD．
又∵△AFC是由△ADC折疊所得，
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，F(xiàn)C=CD，AF=AD．
∴AE=AF．（2分）
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
∴四邊形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：設(shè)正方形AEMF的邊長為x；
根據(jù)題意知：BE=BD，CF=CD，
∴BM=x-1；CM=x-2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC²=CM²+BM²
∴（x-1）²+（x-2）²=9，
x²-3x-2=0，
解之得：（舍去）．
∴．（10分）
方法二：設(shè)：AD=x
∴=
∴S_{五邊形AEBCF}=2S_△ABC=3x（7分）
∵
且S_{正方形AEMF}=S_{五邊形AEBCF}+S_△BMC，
∴即x²-3x-2=0，
解之得：，（舍去），
∴．（10分）
點評：此題考查了圖形的折疊變換、正方形的判定、勾股定理以及圖形面積的求法，能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)正確地得到與已知和所求相關(guān)的相等角和相等邊，是解答此題的關(guān)鍵．