Question

如圖△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求證：四邊形EFCD是菱形；
（2）設CD=4，求D、F兩點間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的判定定理，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由△ABC與△CDE都是等邊三角形，可得出角之間的等量關系，從而證明四邊形EFCD是菱形；
（2）連接DF，與CE相交于點G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一條對角線，根據菱形的性質及30°特殊角的值可計算出結果．

解答：（1）證明：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，
∴ED=CD．
∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分）
∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，（3分）
∴四邊形EFCD是菱形．（4分）

（2）解：連接DF，與CE相交于點G，（5分）
由CD=4，可知CG=2，（6分）
∴DG=

42-22

=2

3

，（7分）
∴DF=4

3

．（8分）

點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．