Question

如圖，點l是△ABC的內心，線段AI的延長線交△ABC外切圓于點D，交BC邊于點E．
（1）求證：lD=BD．
（2）若

BE

AB

=

2

3

，lE=2，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB，
∴ID=BD．

（2）∵∠DBC=∠CAD，
又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，
設DE=2a，則BD=3a，
則AD=

9

2

a
∵ID=BD，
∴IE=ID-DE=3a-2a=2，
∴a=2，
∴AD=9．