Question

（2004•昆明）（1）如圖（1），OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C是OB延長線上任意一點，過點C作CD切⊙O于點D，連接AD交OC于點E．
求證：CD=CE；
（2）若將圖（2）中的半徑OB所在直線向上平行移動交OA于F，交⊙O于B′，其他條件不變，那么上述結論CD=CE還成立嗎？為什么？
（3）若將圖（3）中的半徑OB所在直線向上平行移動到⊙O外的CF，點E是DA的延長線與CF的交點，其他條件不變，那么上述結論CD=CE還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）可連接OD，通過等邊對等角（∠OAD=∠ODA），等角的余角相等（∠OAE+∠OEA=90°，∠ODA+∠CDE=90°），
以及對頂角相等（∠AEO=∠CED），將相等的角進行置換即可得出∠CDE=∠CED，即CD=CE；
（2）連接OD方法和（1）完全相同；
（3）延長OA交CF于G，由于CF是上下平行移動，因此OG⊥CF，證法同（1）．
解答：（1）證明：連接OD，
OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，
∠AEO+∠A=90°；
在⊙O中，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；

（2）解：CE=CD仍然成立，
∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動，
∴CF⊥AO于F；
在Rt△AFE中，
∠A+∠AEF=90°，
連接OD，則
∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE；
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；

（3）解：CE=CD仍成立，
∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動，
∴AO⊥CF，
延長OA交CF于G，
在Rt△AEG中，
∠AEG+∠GAE=90°；
連接OD，有，
∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=∠GAE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE．
點評：本題主要考查了切線的性質，本題中雖然CF的位置不一樣但都是根據切線的性質，等邊對等角，等角的余角相等來求解的．