Question

如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，

（1）求a和b的值；
（2）若△A′B′C′與△ABC開始時(shí)完全重合，然后讓△ABC固定不動(dòng)，將△A′B′C′沿BC所在的直線向左移動(dòng)x厘米．
①設(shè)△A′B′C′與△ABC有重疊部分，其面積為y平方厘米，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
②若重疊部分的面積等于

3

8

平方厘米，求x的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出用含m的式子表示a+b與ab的式子，然后由勾股定理得出一個(gè)關(guān)于m的方程，求出m的值，進(jìn)而得出a和b的值；
（2）①由于S_△BC'M=

1

2

×BC′×C'M，即y=

1

2

x×C'M．所以首先用含x的代數(shù)式表示C'M，然后代入，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)題意求出x的取值范圍；
②把y=

3

8

代入函數(shù)解析式，即可求出x的值．

解答：解：（1）∵a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，
∴a+b=m-1，ab=m+4，
又∵a、b是直角△ABC的兩直角邊，
∴a²+b²=c²=25，
∴（m-1）²-2（m+4）=25，
解得m₁=8，m₂=-4（舍去）．
∴原方程為x²-7x+12=0，
解得a=4，b=3．

（2）由題意得，BC'：C'M=BC：AC，
∵BC'=4-x，故可得C'M=

3

4

（4-x），
①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

3

8

（4-x）²，（0≤x≤4）．
②代入

3

8

=

3

8

（4-x）²，
得x₁=3，x₂=5（舍去）．
∴x的值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，三角形的面積公式等．在判斷所求的解是否符合題意時(shí)，應(yīng)舍去不合題意的解．