Question

聰明好學的小敏查閱有關資料發現：用不過圓錐頂點且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分．圓錐體SAB的母線長為10，側面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．
（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數；
（2）當以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標系．求過C、F、D三點的拋物線的函數關系式；
（3）在拋物面CFD中能否截取長為5.6，寬為2.2的矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件，結合圓錐側面面積公式，即可求出底面面積AP及圓錐側面展開圖的圓心角的度數；
（2）連接CP，根據勾股定理，可求出OC和OD的長度，根據SA=SB=AB=10可以得到等邊三角形，即可推出OF=OB=9，所以在坐標系中就可以求出拋物線的解析式；
（3）本題要進行分析討論，當長邊平行于CD時，x=5.6÷2=2.8時，y=-2.8²+9＜2.2，（符合題意），當短邊平行于CD時，x=2.2÷2=1.1時，y=-1.1²+9＞5.6（不合題意，舍去）．
解答：解：（1）設AP=r，則×2πr×10=50π，
∴r=5．（1分）
設圓心角的度數為n，則nπ×10²÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的長5，圓錐側面展開圖的圓心角度數為180°；（2分）

（2）連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4，
∴CO=3（3分）
∵P為圓心，PO⊥CD，
∴CO=DO，即AB垂直平分CD．
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB為等邊三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，
∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9，
∴F（0，9），（5分）
因為AB垂直平分CD，
∴F為過C、F、D三點的拋物線的頂點，
設拋物線的關系式y=ax²+9，過C（-3，0）得
a（-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴y=-x²+9；（7分）

（3）當x=5.6÷2=2.8時，y=-2.8²+9＜2.2，（8分）
當x=2.2÷2=1.1時，y=-1.1²+9＞5.6（9分）
∴由矩形與拋物線的對稱性可知，能截取長為5.6，寬為2.2的矩形（10分）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、勾股定理，圓錐側面積公式等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．