Question

聰明好學的小敏查閱有關資料發現：用不過圓錐頂點且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分.圓錐體SAB的母線長為10，側面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4.

【小題1】求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數；
【小題2】當以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標系.求過C、F、D三點的拋物線的函數關系式；
【小題3】在拋物面CFD中能否截取長為5.6，寬為2.2的矩形？請說明理由.

Answer 1

【小題1】設AP=r，則×2πr×10=50π,∴r=5……………….1分
設圓心角的度數為n，則nπ×10÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的長5，圓錐側面展開圖的圓心角度數為180°……2分
【小題2】連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4,∴CO=3……………3分
∵P為圓心，PO⊥CD，
∴CO=DO,即AB垂直平分CD.
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB為等邊三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9,∴F（0，9），……………………………5分
因為AB垂直平分CD，
∴F為過C、F、D三點的拋物線的頂點，
設拋物線的關系式y=ax+9,，過C（-3，0）得a(-3)+9=0
∴a=-1,∴y=－x+9………………………………………7分
【小題3】當x==2.8時，y= -2.8+9＜2.2，--------8分
當x=2.2÷2=1.1時，y= -1.1+9＞5.6------9分
∴由矩形與拋物線的對稱性可知，能截取長為5.6，寬為2.2的矩形…………10分

解析