Question

如圖1所示：AM∥DN，AE、DE分別平分∠MAD和∠AND，并交于E點. 過點E的直線分別交AM、DN于B、C.

（1）如圖2，當點B、C分別位于點AD的同側時，猜想AD、AB、CD之間的存在的數(shù)量關系：_______________________________.

（2）試證明你的猜想.

（3）若點B、C分別位于點AD的兩側時，試寫出AD、AB、CD之間的關系，并選擇一個寫出證明過程。

　　　　　　　　　　 圖1　　　　　　　　　　　　　　　　 　 圖2

Answer 1

 (1)AD=AB+CD………………………………1分

(2)證明：在AD上截取AF=AB,連接EF.

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

在△ABE和△AFE中

   AB=AF

∠BAE=∠FAE

   AE=AE

∴△ABE≌△AFE………………………………2分

∴∠ABC=∠AFE

∵ AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵∠AFE+∠DFE=180°

∴∠DFE=∠C

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

在△FDE和△CDE中

∠DFE=∠C

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△FDE≌△CDE ……………………………3分

∴DF=CD

∴AF+DF=AB+CD

即AD=AB+CD………………………………….4分

（3）證明：

第一種情況：當點B位于點A左側，點C位于點D右側時，DC=AD+AB. …………………5分

               

在CD上截取DF=AD,連接EF.

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

在△ADE和△FDE中

DA=DF

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△ADE≌△FDE……………………………….6分

∴EA=EF

∠DAE=∠DFE

∵AE平分∠DAM

∴∠DAE=∠EAM

∴∠DFE=∠EAM

又∵∠BAE+∠EAM=180°

    ∠DFE+∠CFE=180°

∴∠BAE=∠CFE

∵AM∥DN

∴∠ABC=∠BCD

在△BAE和△CFE中

 ∠BAE=∠CFE

∠ABC=∠BCD

 EA=EF

∴△BAE≌△CFE

∴AB=FC

∵DC=DF+FC

∴DC=AD+AB………………………………………..7分

第二種情況：當點B位于點A右側，點C位于點D左側時，AB=AD+CD.……………….5分.

在AB上截取AF=AD,連接EF

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

在△ADE和△AEF中

AF=AD

∠BAE=∠DAE

AE=AE

∴△AEF≌△AED………………………………………………6分

∴EF=ED

∴∠AFE=∠ADE

∵DE平分∠ADN

∴∠ADE=∠EDN

∴∠AFE=∠EDN

又∵∠AFE+∠BFE=180°

    ∠EDN+∠EDC=180°

∴∠BFE=∠EDC

∵AM∥DN

∴∠ABC=∠BCD

在△BEF和△CED中

 ∠BFE=∠EDC

∠ABC=∠BCD

 DE=EF

∴△BFE≌△CDE

∴CD=BF

∵AB=AF+FB

∴AB=AD+CD…………………………………………………7分