Question

如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四邊形DEFG為矩形，DE=cm，EF=6cm，且點C、B、E、F在同一條直線上，點B與點E重合．
（1）求AC的長度；
（2）將Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移，當點C與點F重合時停止移動，設Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y，請求出重疊面積y（cm²）與移動時間x（s）的函數關系式（時間不包括起始與終止時刻）；
（3）在（2）的基礎上，當Rt△ABC移動至重疊部分的面積時，將Rt△ABC沿邊AB向上翻折，并使點C與點C’重合，請求出翻折后Rt△ABC’與矩形DEFG重疊部分的周長．

Answer 1

解：（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

（2）如圖（1）當0＜x＜2時=（）²，
∴y=××2×2即y=x²；
當2≤x≤6時y=S_△ABC=2．
如圖（2）當6＜x＜8時，AB交FG于H，
=（）²
∴S_△FHB=（x-6）²
∴y=S_△ABC-S_△FHB=2-（x-6）²=-x²+6x-16
綜上所述：y與x的函數關系式為；

（3）當0＜x＜2時，x²=，
∴x=．
如圖（3）AB交DE于點M，ACˊ交DE于點N，
則∠AMN=∠CAB=∠BACˊ=30°
∴MN=AN
在Rt△MEB中，MB=2BE=2
∴重疊部分的周長=MN+NC'+C'B+BM=AN+N'C+C'B+BMAC'+BC'+BM=2+2+2=4+2（cm）
當6＜x＜8時，令y=，則2-（x-6）²=
∴（x-6）²=1
∴x₁=7，x₂=5（舍去）
如圖（4）Rt△MFB中FB=7-6=1
∴MF=1×cot30°=，AM=MB=2
設MN=AN=a，則NG=
∴+a+=2
∴a=
∴重疊部分周長=C_△AMN=2a+AM=+2（cm）
分析：（1）在直角三角形ABC中，根據BC的長和∠A的與余切值即可求出AC的長；
（2）本題要找出幾個關鍵點：當C與B重合、A與D重合時，x=2．當B與F重合時，x=6；當C與F重合時，x=8；因此本題可分三種情況：
①當0＜x＜2時，此時重合部分是個直角三角形且與三角形ABC相似，可用它們的形似比求出重合部分的面積，
②當2≤x≤6時，重合部分是三角形ACB，因此其面積就是三角形ABC的面積，
③當6＜x＜8時，重合部分是個直角梯形，可參照①的思路進行求解；
（3）可將y的值分別代入（2）的三種情況中，求出符合條件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相關知識進行求解即可．
點評：本題主要考查了直角三角形和矩形的性質、圖形的翻折變換、二次函數的應用等知識，要注意（2）（3）小題要分類討論，不要漏解．