Question

如圖，矩形ABOD的頂點A是函數y1=

k

x

與函數y₂=-x-（k+1）的圖象在第二象限內的交點，AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，且矩形ABOD的面積為3．
（1）求兩函數的解析式以及兩交點A，C的坐標；
（2）直接寫出當y₁＞y₂時x的取值范圍；
（3）若點P是y軸上一點，且S_△APC=5，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據反比例函數比例系數k的幾何意義和矩形ABOD的面積為3求出k的值，得到兩函數的解析式，再將兩函數解析式聯立求出交點A，C的坐標；
（2）利用交點A、C的坐標即可得出函數值y₁＞y₂時自變量x的取值范圍；
（3）設點P的坐標為（0，m），先求出直線y=-x+2與y軸的交點坐標為M（0，2），根據S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=5，求出|PM|的值即可求出m的值．

解答：解：（1）∵點A在反比例函數y=

k

x

的圖象上，AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，且矩形ABOD的面積為3，
∴|k|=3，
解得k=±3，
又∵點A在第二象限，
∴k=-3，
∴反比例函數的解析式為y₁=-

3

x

，一次函數的解析式為y=-x+2．
由

y=-x+2 y=- 3 x

，解得

x1=-1 y1=3

，

x2=3 y2=-1

，
∴交點A的坐標為（-1，3），點C的坐標為（3，-1）；

（2）∵點A的坐標為（-1，3），點C的坐標為（3，-1），
∴當y₁＞y₁時，-1＜x＜0或x＞3；

（3）設點P的坐標為（0，m），
直線y=-x+2與y軸的交點坐標為M（0，2），
∵S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=5，
∴

1

2

|PM|（1+3）=5，
∴|PM|=

5

2

，
即|m-2|=

5

2

，
∴m=

9

2

或m=-

1

2

，
∴點P的坐標為（0，

9

2

）或（0，-

1

2

）．

點評：此題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義，反比例函數的性質，求兩函數的交點坐標，比較函數值的大小，三角形的面積等知識，求出交點坐標，利用數形結合思想是解題的重點．