Question

（2013•歷下區二模）（1）如圖1，AB∥CD，AB=CD，直線EF分別交AB、CD 于B、C，且BF=EC．求證：∠A=∠D．
（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．①求∠BDC的度數；②求AB的長．

Answer 1

分析：（1）求出BE=CF，∠ABC=∠DCF，根據SAS證出△ABE≌△DCF即可；
（2）求出∠DBC，根據三角形內角和定理求出∠BDC即可；過D作DE⊥BC于E，過B作BF⊥DC于F，求出CF、BF、DF，根據三角形面積公式求出DE，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵EC=BF，
∴EC+BC=BF+BC，
∴EB=CF，
∵在△ABE和△DCF中

AB=DC ∠ABE=∠DCF BE=CF

∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴∠A=∠D．

（2）解：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC=90°，
∵，∠ABD=15°，
∴∠DBC=75°，
又∵∠C=60°，
∴∠BDC=45°．

過D作DE⊥BC于E，過B作BF⊥DC于F，
∵∠C=60°，
∴∠FBC=30°，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
∵∠DBC=75°，
∴∠DBF=45°，
∴∠BDF=45°=∠DBF，
∴BF=DF，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=

22-12

=

3

，
∴DF=

3

，DC=1+

3

，
在△DBC中，由三角形的面積公式得：

1

2

BC×DE=

1

2

DC×BF，

1

2

×2×DE=

1

2

×（1+

3

）×

3

，
DE=

3 +3

2

，
∵∠ABC=90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE=

3 +3

2

．

點評：本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的性質和判定，平行線性質，三角形的面積公式，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．