Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標系xOy中，A，C兩點的坐標分別為，

（其中n＞0），點B在x軸的正半軸上．動點P從點O出發，在四邊形OABC的邊上依次沿O—A—B—C的順序向點C移動，當點P與點C重合時停止運動．設點P移動的路徑的長為l，△POC的面積為S，S與l的函數關系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．

1.（1）結合以上信息及圖2填空：圖2中的m=         ；

2.（2）求B，C兩點的坐標及圖2中OF的長；

3.（3）在圖1中，當動點P恰為經過O，B兩點的拋物線W的頂點時，

    ① 求此拋物線W的解析式；

    ② 若點Q在直線上方的拋物線W上，坐標平面內另有一點R，滿足以B，

P，Q，R四點為頂點的四邊形是菱形，求點Q的坐標．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）圖2中的m=

2.（2）∵ 圖11（原題圖2）中四邊形ODEF是等腰梯形，點D的坐標為，

∴ ，此時原題圖1中點P運動到與點B重合，

∵ 點B在x軸的正半軸上，

         ∴ ．

         解得 ，點B的坐標為． ………………………………………2分

   此時作AM⊥OB于點M，CN⊥OB于點N．（如圖12）．

∵ 點C的坐標為，

∴ 點C在直線上．

又由圖11（原題圖2）中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖12中的點C在過點O與AB平行的直線l上，

∴ 點C是直線與直線l的交點，且．

又∵ ，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．

∴ ON=BM=6，點C的坐標為．……………………………………3分

∵ 圖12中 ．

∴ 圖11中，． …………………4分

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

3.（3）①當點P恰為經過O，B兩點的拋物線的頂點時，作PG⊥OB于點G．

（如圖13）

∵ O，B兩點的坐標分別為，，

    ∴由拋物線的對稱性可知點P的橫坐標為4，即OG=BG=4．

    由可得PG=2．

    ∴ 點P的坐標為．………………5分

    設拋物線W的解析式為（a≠0）．

    ∵ 拋物線過點，

∴ ．

解得 ．

∴ 拋物線W的解析式為．

…………………………………6分

 

②如圖14．

   i）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱

形的邊時，

    ∵ 點Q在直線上方的拋物線W

上，點P為拋物線W的頂點，結合拋

物線的對稱性可知點Q只有一種情況，

點Q與原點重合，其坐標為．

……………………………………7分

  ii）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱形的對角線時，

     可知BP的中點的坐標為，BP的中垂線的解析式為．

     ∴ 點的橫坐標是方程的解．

     將該方程整理得 ．

     解得．

     由點Q在直線上方的拋物線W上，結合圖14可知點的橫坐標為．

     ∴ 點的坐標是． …………………………8分

  綜上所述，符合題意的點Q的坐標是，．

【解析】略