Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標系xOy中，A，C兩點的坐標分別為A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），點B在x軸的正半軸上．動點P從點O出發，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點C移動，當點P與點C重合時停止運動．設點P移動的路徑的長為x，△POC的面積為S，S與x的函數關系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．
（1）求B，C兩點的坐標及圖2中OF的長；
（2）在圖1中，當動點P恰為經過O，B兩點的拋物線W的頂點時，
①求此拋物線W的解析式；
②若點Q在直線y=-1上方的拋物線W上，坐標平面內另有一點R，滿足以B，P，Q，R四點為頂點的四邊形是菱形，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用當P點運動到A點時，△POC的面積為12，求出斜邊AO可得出m的值，圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點D的坐標為D（m，12），得出y_E=y_D=12，此時圖1中點P運動到與點B重合，利用三角形面積求出OB的長，進而得出B點坐標，以及利用△ABM≌△CON得出C點坐標和利用勾股定理求出OF的長；
（2）①先求出點P的坐標，然后根據O、B可得出拋物線解析式；
②根據當點P恰為經過O，B兩點的拋物線的頂點時，i）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱形的邊時，ii）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱形的對角線時，分別分析得出即可．

解答：解：（1）根據圖中得出：
∵當P點運動到A點時，△POC的面積為12，
∴AO=

22+32

=

13

，
∴m=

13

；
∵圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點D的坐標為D（m，12），
∴y_E=y_D=12，此時圖2中點P運動到與點B重合，
∵點B在x軸的正半軸上，
∴S_△POC=

1

2

×OB×|yC|=

1

2

×OB×3=12．
解得：OB=8，點B的坐標為（8，0）． 
此時作AM⊥OB于點M，CN⊥OB于點N．
（如圖2）．
∵點C的坐標為C（n，-3），
∴點C在直線y=-3上．
又∵由圖1中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖2中的點C在過點O與AB平行的直線l上，
∴點C是直線y=-3與直線l的交點，且∠ABM=∠CON．
又∵|y_A|=|y_C|=3，即AM=CN，
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6，點C的坐標為C（6，-3）．
∵圖2中 AB=

AM2+BM2

=

32+62

=3

5

．
∴圖1中DE=3

5

，OF=2x_D+DE=2

13

+3

5

． 

（2）①當點P恰為經過O，B兩點的拋物線的頂點時，作PG⊥OB于點G．
（如圖3）
∵O，B兩點的坐標分別為O（0，0），B（8，0），
∴由拋物線的對稱性可知點P的橫坐標為4，即OG=BG=4．由tan∠ABM=

AM

BM

=

3

6

=

PG

BG

，可得PG=2．
∴點P的坐標為P（4，2），
設拋物線W的解析式為y=ax（x-8）（a≠0）．
∵拋物線過點P（4，2），
∴4a（4-8）=2．
解得：a=-

1

8

，
∴拋物線W的解析式為y=-

1

8

x2+x．
②如圖4．
i）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱形的邊時，
∵點Q在直線y=-1上方的拋物線W 上，點P為拋物線W的頂點，
結合拋物線的對稱性可知點Q只有一種情況，點Q與原點重合，其坐標為Q₁（0，0）．
ii）當BP為以B，P，Q，R為頂點的菱形的對角線時，可知BP的中點的坐標為（6，1），BP的中垂線的解析式為y=2x-11．
∴點Q₂的橫坐標是方程-

1

8

x2+x=2x-11的解．
將該方程整理得：x²+8x-88=0．
解得x=-4±2

26

．
由點Q在直線y=-1上方的拋物線W上，結合圖4可知點Q₂的橫坐標為2

26

-4．
∴點Q₂的坐標是Q₂（2

26

-4，4

26

-19）． 
綜上所述，符合題意的點Q的坐標是Q₁（0，0），Q₂（2

26

-4，4

26

-19）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及菱形性質和等腰梯形性質等知識，根據數形結合得出梯形面積進而得出B，C點的坐標是解題關鍵，難度較大．