Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）當t為何值時，P、Q兩點的距離為5

2

cm？
（2）當t為何值時，△PCQ的面積為15cm²？
（3）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出經過1s后，P、Q兩點的距離為5

2

cm²
（2）根據三角形的面積公式S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ便可求出經過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²
（3）根據三角形的面積公式S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ以及二次函數最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
設經過ts后，P、Q兩點的距離為5

2

cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入數據（7-2t）²+（5t）²=（5

2

）²；
解得t=1或t=-

1

29

（不合題意舍去）；

（2）設經過ts后，S_△PCQ的面積為15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

=

1

2

×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
經過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²

（3）設經過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2t）×5t=

5

2

×（-2t²+7t）
當t=-

b

2a

時，即t=

7

2×2

=1.75s時，△PCQ的面積最大，
即S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2×1.75）×5×1.75²=

245

16

（cm²），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S_△ABC-S_△PCQ最大=

1

2

×7×24-

245

16

=

1099

16

（cm²），
當點P運動1.75秒時，四邊形BPQA的面積最小為：

1099

16

cm²．

點評：本題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的求法以及二次函數的應用，是各地中考的熱點，屬于中檔題．