Question

（1999•溫州）如圖，△ABC內接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AE與BC交于點D，且D是OE的中點，則tan∠ABC•tan∠ACB=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接BE、CE，由圓周角定理，易知∠AEB=∠ACB，∠ABC=∠AEC，只需求出tan∠AEC•tan∠AEB的值即可．
易證△ADC∽△BDC，△ADB∽△CDE，可得，．兩式相乘，即可求得tan∠ABC•tan∠ACB的值．
解答：解：連接BE、CE，則∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴．   ①
同理可由△ADB∽△CDE，得．  ②
①×②，得==3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=．
同理得tan∠AEB=．
故tan∠AEC•tan∠AEB==3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．
點評：此題主要考查了銳角三角函數的定義、圓周角定理及相似三角形的判定和性質．