Question

（1999•溫州）如圖，△ABC的外接圓⊙O的直徑BE交AC于點D，已知弧BC等于120°，，則關于x的一元二次方程根的情況是（ ）

A．沒有實數恨
B．有兩個相等的正實數根
C．有兩個相等的實數根
D．有兩個不相等的正實數根

Answer 1

【答案】分析：BD為直徑，連接CE，構成直角三角形．
過D點作DF⊥BC．在Rt△CDF中，運用銳角三角函數求邊長；
在Rt△BCE中，因為弧BC等于120°，可求其兩銳角分別為60°、30°，根據銳角三角函數可求BD、DE的長，代入判別式中，確定判別式的符號．
解答：解：過D點作DF⊥BC，垂足為點F，連接CE．
在Rt△CDF中，．
設CF=2，則DF=．
已知弧BC等于120°，BE為直徑，
所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．
在Rt△BDF中，BD=2DF=2，BF=3．
在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE==，
DE=BE-BD=．
∵△=（BD）²-4•BD•DE
=（×2）²-4×2×
=36-32=4＞0，
又x₁+x₂=BD＞0，x₁•x₂=BD•DE＞0，
∴方程有兩個不相等的正實數根，故選D．
點評：本題是圓的問題、銳角三角函數與一元二次方程根的判別式的綜合運用，一般需要把問題轉化到直角三角形中，利用銳角三角函數設邊長，求邊長，再用判別式判斷方程根的情況．