Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE是直角邊AB的垂直平分線，∠DBA=∠ABC，連接AD．求證：
（1）四邊形ADBC是梯形；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得到AD=BD，利用等邊對(duì)等角可得到∠DBA=∠DAB，進(jìn)而可以證明AD∥BC，可以證出四邊形ADBC是梯形；
（2）延長(zhǎng)DE交BC于F，證明△BDE≌△BFE，從而得出四邊形ACFD是平行四邊形，進(jìn)而得出命題．
解答：證明：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠DBA=∠ABC，
∴∠ABC=DAB，
∴AD∥BC，
∵AC與BD不平行，
∴四邊形ADBC是梯形，

（2）延長(zhǎng)DE交BC于F，
∵∠DBA=∠ABC，∠DEB=∠BEF=90°，BE=BE
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD=AD，
∵∠BAC=∠BEF=90°
∴DF∥AC
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴AD=FC，F(xiàn)C=BF=AD，
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定等知識(shí)，利用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，以及作出輔助線（延長(zhǎng)DE交BC于F），是解決問題的關(guān)鍵．