Question

如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E在邊BC上（與端點不重合），點F在射線DC上．
（1）若AF=AE，并設CE=x，△AEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）當CE的長度為何值時，△AEF和△ECF相似？
（3）若CE=

1

4

，延長FE與直線AB交于點G，當CF的長度為何值時，△EAG是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由已知可得，AB=BC=CD=AD=1，CE=x，由圖形得出y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，便可求出x與y的關系式．
（2）當△AEF和△ECF相似時，有兩種情況：
①∠AEF=90°，△AEF∽△ECF；②∠AFE=90°，△AEF∽△FCE；
以①為例，若∠AEF=90°，可得到兩組相似三角形：△AEF∽△ECF、△ECF∽△ABE，根據兩個相似三角形所得比例線段，即可證得CE=BE（以

EF

CF

為中間量），由此可求得CE的長；
②的思路與①相同．
（3）此題應分作兩種情況考慮：
一、當F在線段DC上時，可分兩種情況：
①AE=EG，根據等腰三角形三線合一的性質知：AB=BG=1，易證得△FCE∽△BEG，根據CE的長，易得CE：BE=1：3，即BG=3CF，由此可求出CF的長；
②AE=AG，由于BE=

3

4

，AB=1，由勾股定理可求得AE=AG=

5

4

，即BG=

1

4

，然后按照①的方法即可求得CF的長；
二、當F在線段DC的延長線上時，可分兩種情況：
①EG=AG，由①知BG=3CF，那么EG=AG=AB-BG=1-3CF，可用CF表示出BG、EG的長，然后在Rt△BGE中，利用勾股定理求出CF的值；
②AE=AG，方法與②相同，將①題的“AB=BG=1”換成“BG=AB+AG=1+

5

4

”即可．

解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴y=12-

1

2

•1•(1-x)-

1

2

•1•(1-x)-

1

2

x2，
∴y=-

1

2

x2+x（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴

AE

EC

=

EF

CF

，

EF

CF

=

AE

BE

，
∴

AE

EC

=

AE

BE

，∴CE=BE=

1

2

；（3分）
②當∠AFE=90°，同理可得CF=FD=

1

2

，
∵

CE

CF

=

FD

AD

，∴CE=

1

4

．（2分）

（3）①當AE=GE時，得：AB=BG=1，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，CE=

1

4

，
∴

CF

1

=

1

3

，∴CF=

1

3

；（1分）
②當AE=AG時，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 -1

=

1

3

，∴CF=

1

12

；（1分）
③當AG=EG時，∵CE=

1

4

，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴(1-3CF)2=(

3

4

)2+(3CF)2，∴CF=

7

96

；（1分）
④當AG=AE時，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 +1

=

1

3

，
∴CF=

3

4

．（1分）

點評：此題主要考查了矩形的性質以及相似三角形的判定，難點在于需要分類討論的情況較多，易造成漏解的狀況．