Question

已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）利用圖1，求證：PA=PB；
（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S_△POB=3S_△PCB時，求PB與PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD=∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為M、N，由四邊形內角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，則∠EPF=∠APB，可證∠EPA=∠FPB，由角平分線的性質，得PE=PF，可證△EPA≌△FPB，得出結論；
（2）由（1）可知△PAB為等腰三角形，則∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，可證△PBC∽△POB，由S_△POB=3S_△PCB可知，PO=3PC，再利用相似比求解；
（3）作BH⊥OT，垂足為T，當∠MON=60°時，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度數為75°，從而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，則∠BPO=45°，分別解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP．
解答：解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為E、F
∵四邊形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分線的性質，得PE=PF，
∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；

（2）∵S_△POB=3S_△PCB，
∴PO=3PC，
由（1）可知△PAB為等腰三角形，則∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，
又∵∠BPC=∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴=，
即PB²=PO•PC=3PC²，
∴=

（3）作BH⊥OT，垂足為H，
當∠MON=60°時，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=（180°-30°）=75°，則∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=OB=1，OH=，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=+1．
點評：本題考查了旋轉的性質的運用．關鍵是通過運用旋轉的作圖，得出全等三角形，特殊三角形解題．