Question

某體育用品商場為推銷某一品牌運動服，先做了市場調查，得到數據如下表：

賣出價格x（元/件）	50	51	52	53
銷售量p（件）	500	490	480	470

（1）判斷p與x的函數關系，并求出p與x的函數關系式；
（2）如果這種運動服的買入價為每件40元，試求銷售利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數關系式（銷售利潤=銷售收入-買入支出）；
（3）在（2）的條件下，當賣出價格為多少時，能獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）p與x成一次函數關系．設函數關系式為p=kx+b，
則 ，
解得：k=-10，b=1000，
∴p=-10x+1000，
經檢驗可知：當x=52，p=480，當x=53，p=470時也適合這一關系式，
∴所求的函數關系為p=-10x+1000；

（2）依題意得：
y=p（x-40）=（-10x+1000）（x-40），
∴y=-10x²+1400x-40000；

（3）由y=-10x²+1400x-40000可知，
當x=-=70時，y有最大值，
∴賣出價格為70元時，能獲得最大利潤．
分析：（1）根據表格中數據的特點易知p與x成一次函數關系，設出p=kx+b，從表格中任取兩點坐標，利用待定系數法確定出k與b的值，進而得到p與x的函數關系式；
（2）根據銷售利潤=（每件的售價-每件的進價）×銷售量，可得y=px-40p，化簡即可得到利潤的關系式；
（3）由（2）化簡得到的y與x的函數關系式，運用二次函數的性質得到其圖象為開口向下的拋物線，有最大值，當x=-取得最大值，即可求出取得最值時的價錢．
點評：此題考查了一次函數及二次函數的圖象與性質，第一問猜想p與x成一次函數關系式，利用待定系數法確定出關系式后不要忘了驗證；第三問求最值問題時，應根據第二問得到的函數表達式，利用二次函數性質來求解．